原子函数¶

本教程的这一部分描述了可以应用于CVXPY表达式的原子函数。CVXPY使用本节中的函数信息和DCP规则来标记表达式的符号和曲率。

操作符¶

中缀运算符 +, -, *, /, @ 被视为函数。运算符 + 和 - 始终是仿射函数。表达式 expr1*expr2 在 CVXPY 中当其中一个表达式是常数时是仿射的，而 expr1/expr2 是仿射的当 expr2 是一个标量常数时。

历史上，CVXPY 使用 expr1 * expr2 来表示矩阵乘法。现在这种做法已被弃用。从 Python 3.5 开始，用户可以写 expr1 @ expr2 来表示矩阵乘法和点积。从 CVXPY 1.1 版本开始，我们采用了一个新的标准：

@ 应该用于矩阵-矩阵和矩阵-向量的乘法，
* 应该是矩阵-标量和向量-标量乘法

元素乘法可以使用multiply函数来应用。

索引和切片¶

CVXPY 中的索引遵循与 NumPy ndarrays 完全相同的语义。例如，如果 expr 的形状为 (5,)，那么 expr[1] 将给出第二个条目。更一般地，expr[i:j:k] 选择 expr 的每第 k 个元素，从 i 开始，到 j-1 结束。如果 expr 是一个矩阵，那么 expr[i:j:k] 选择行，而 expr[i:j:k, r:s:t] 同时选择行和列。索引会减少维度，而切片会保留维度。例如，

x = cvxpy.Variable(5)
print("0 dimensional", x[0].shape)
print("1 dimensional", x[0:1].shape)

O dimensional: ()
1 dimensional: (1,)

转置¶

任何表达式的转置都可以使用语法 expr.T 获得。转置是一个仿射函数。

功率¶

对于任何CVXPY表达式expr，幂运算符expr**p等同于函数power(expr, p)。

标量函数¶

标量函数接受一个或多个标量、向量或矩阵作为参数，并返回一个标量。

函数	意义	领域	DCP 属性	曲率
cvar(x, beta)	平均值为 $(1-\beta)$ 在 $x$ 中最大值的比例	$x \in \mathbf{R}^m$ $\beta \in (0,1)$	符号取决于 $x$ 增加。	凸
dotsort(X,W) 常数 $W \in \mathbf{R}^{o \times p}$	$\text{点积}$ $\operatorname{sort}\operatorname{vec}(X) \text{ 和}$ $\operatorname{sort}\operatorname{vec}(W)$	$X \in \mathbf{R}^{m \times n}$	符号取决于 $X$ 和 $W$ 当 $\min(W) \geq 0$ 当 $\max(W) \leq 0$	凸
geo_mean(x) geo_mean(x, p) $p \in \mathbf{R}^n_{+}$ $p \neq 0$	$x_1^{1/n} \cdots x_n^{1/n}$ $\left(x_1^{p_1} \cdots x_n^{p_n}\right)^{\frac{1}{\mathbf{1}^T p}}$	$x \in \mathbf{R}^n_{+}$	正面的增加。	凹面
harmonic_mean(x)	$\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$	$x \in \mathbf{R}^n_{+}$	正面的增加。	凹面
inv_prod(x)	$(x_1\cdots x_n)^{-1}$	$x \in \mathbf{R}^n_+$	正面的减少。	凸
lambda_max(X)	$\lambda_{\max}(X)$	$X \in \mathbf{S}^n$	未知符号	凸
lambda_min(X)	$\lambda_{\min}(X)$	$X \in \mathbf{S}^n$	未知符号	凹面
lambda_sum_largest(X,k) $k = 1,\ldots, n$	$\text{sum of $k$ largest}$ $\text{eigenvalues of $X$}$	$X \in\mathbf{S}^{n}$	未知符号	凸
lambda_sum_smallest(X,k) $k = 1,\ldots, n$	$\text{sum of $k$ smallest}$ $\text{eigenvalues of $X$}$	$X \in\mathbf{S}^{n}$	未知符号	凹面
log_det(X)	$\log \left(\det (X)\right)$	$X \in \mathbf{S}^n_+$	未知符号	凹面
log_sum_exp(X)	$\log \left(\sum_{ij}e^{X_{ij}}\right)$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	未知符号增加。	凸
matrix_frac(x, P)	$x^T P^{-1} x$	$x \in \mathbf{R}^n$ $P \in\mathbf{S}^n_{++}$	正面的	凸
max(X)	$\max_{ij}\left\{ X_{ij}\right\}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	与X同号增加。	凸
mean(X)	$\frac{1}{m n}\sum_{ij}\left\{ X_{ij}\right\}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	与X同号增加。	仿射
min(X)	$\min_{ij}\left\{ X_{ij}\right\}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	与X同号增加。	凹面
mixed_norm(X, p, q) $Y = \left(\sum_l\lvert x_{k,l}\rvert^p\right)$	$\left(\sum_k Y^{q/p}\right)^{1/q}$	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	正面的	凸
norm(x) norm(x, 2)	$\sqrt{\sum_{i} \lvert x_{i} \rvert^2 }$	$X \in\mathbf{R}^{n}$	正面的对于 $x_{i} \geq 0$ 当 $x_{i} \leq 0$	凸
norm(x, 1)	$\sum_{i}\lvert x_{i} \rvert$	$x \in\mathbf{R}^{n}$	正面的对于 $x_{i} \geq 0$ 对于 $x_{i} \leq 0$	凸
norm(x, “inf”)	$\max_{i} \{\lvert x_{i} \rvert\}$	$x \in\mathbf{R}^{n}$	正面的对于 $x_{i} \geq 0$ 当 $x_{i} \leq 0$	凸
norm(X, “fro”)	$\sqrt{\sum_{ij}X_{ij}^2 }$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的对于 $X_{ij} \geq 0$ 当 $X_{ij} \leq 0$	凸
norm(X, 1)	$\max_{j} \\|X_{:,j}\\|_1$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的对于 $X_{ij} \geq 0$ 当 $X_{ij} \leq 0$	凸
norm(X, “inf”)	$\max_{i} \\|X_{i,:}\\|_1$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的对于 $X_{ij} \geq 0$ 当 $X_{ij} \leq 0$	凸
norm(X, “nuc”)	$\mathrm{tr}\left(\left(X^T X\right)^{1/2}\right)$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
norm(X) norm(X, 2)	$\sqrt{\lambda_{\max}\left(X^T X\right)}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
perspective(f(x),s)	$sf(x/s)$	$x \in \mathop{\bf dom} f$ $s \geq 0$	与f同号	/ 与 $f$ 相同
pnorm(X, p) $p \geq 1$ 或 `p = 'inf'`	$\left(\sum_{ij} \|X_{ij}\|^p \right)^{1/p}$	$X \in \mathbf{R}^{m \times n}$	正面的对于 $X_{ij} \geq 0$ 当 $X_{ij} \leq 0$	凸
pnorm(X, p) $p < 1$, $p \neq 0$	$\left(\sum_{ij} X_{ij}^p \right)^{1/p}$	$X \in \mathbf{R}^{m \times n}_+$	正面的增加。	凹面
ptp(X)	$\max_{ij} X_{ij}$ $- \min_{ij} X_{ij}$	$X \in \mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
quad_form(x, P) 常数 $P \in \mathbf{S}^n_+$	$x^T P x$	$x \in \mathbf{R}^n$	正面的对于 $x_i \geq 0$ 对于 $x_i \leq 0$	凸
quad_form(x, P) 常数 $P \in \mathbf{S}^n_-$	$x^T P x$	$x \in \mathbf{R}^n$	负值对于 $x_i \geq 0$ 当 $x_i \leq 0$	凹面
quad_form(c, X) 常数 $c \in \mathbf{R}^n$	$c^T X c$	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	符号取决于 c, X 单调性取决于c	仿射
quad_over_lin(X, y)	$\left(\sum_{ij}X_{ij}^2\right)/y$	$x \in \mathbf{R}^n$ $y > 0$	正面的对于 $X_{ij} \geq 0$ 当 $X_{ij} \leq 0$ 在 $y$ 中减少	凸
std(X)	类似于 numpy.std	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
sum(X)	$\sum_{ij}X_{ij}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	与X同号增加。	仿射
sum_largest(X, k) $k = 1,2,\ldots$	$\text{sum of } k\text{ largest }X_{ij}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	与X同号增加。	凸
sum_smallest(X, k) $k = 1,2,\ldots$	$\text{sum of } k\text{ smallest }X_{ij}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	与X同号增加。	凹面
sum_squares(X)	$\sum_{ij}X_{ij}^2$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的对于 $X_{ij} \geq 0$ 当 $X_{ij} \leq 0$	凸
trace(X)	$\mathrm{tr}\left(X \right)$	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	与X同号增加。	仿射
tr_inv(X)	$\mathrm{tr}\left(X^{-1} \right)$	$X \in\mathbf{S}^n_{++}$	正面的	凸
tv(x)	$\sum_{i}\|x_{i+1} - x_i\|$	$x \in \mathbf{R}^n$	正面的	凸
tv(X) $Y = \left[\begin{matrix} X_{i+1,j} - X_{ij} \\ X_{i,j+1} -X_{ij} \end{matrix}\right]$	$\sum_{ij}\left\\| Y \right\\|_2$	$X \in \mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
tv([X1,…,Xk]) $Y = \left[\begin{matrix} X_{i+1,j}^{(1)} - X_{ij}^{(1)} \\ X_{i,j+1}^{(1)} -X_{ij}^{(1)} \\ \vdots \\ X_{i+1,j}^{(k)} - X_{ij}^{(k)} \\ X_{i,j+1}^{(k)} -X_{ij}^{(k)} \end{matrix}\right]$	$\sum_{ij}\left\\| Y \right\\|_2$	$X^{(i)} \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
var(X)	类似于 numpy.var	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	正面的	凸
von_neumann_entr(X)	$-\operatorname{tr}(X\operatorname{logm}(X))$	$X \in \mathbf{S}^{n}_+$	未知符号	凹面

标量函数的澄清¶

域 $\mathbf{S}^n$ 指的是对称矩阵的集合。域 $\mathbf{S}^n_+$ 和 $\mathbf{S}^n_-$ 分别指的是半正定矩阵和半负定矩阵的集合。同样地，$\mathbf{S}^n_{++}$ 和 $\mathbf{S}^n_{--}$ 分别指的是正定矩阵和负定矩阵的集合。

对于一个向量表达式 x，norm(x) 和 norm(x, 2) 给出欧几里得范数。然而，对于一个矩阵表达式 X，norm(X) 和 norm(X, 2) 给出谱范数。

函数 norm(X, "fro") 被称为 Frobenius 范数，而 norm(X, "nuc") 被称为核范数。核范数也可以定义为 X 的奇异值之和。

函数 max 和 min 分别给出单个表达式中的最大和最小项。这些函数不应与 maximum 和 minimum 混淆（参见 Elementwise functions）。使用 maximum 和 minimum 来查找标量表达式列表的最大值或最小值。

CVXPY函数sum用于对单个表达式中的所有条目进行求和。内置的Python sum应该用于将表达式列表相加。例如，以下代码对三个表达式的列表进行求和：

expr_list = [expr1, expr2, expr3]
expr_sum = sum(expr_list)

沿轴函数¶

函数 sum, norm, max, min, mean, std, var, 和 ptp 可以沿着一个轴应用。给定一个 m 乘 n 的表达式 expr，语法 func(expr, axis=0, keepdims=True) 将 func 应用于每一列，返回一个 1 乘 n 的表达式。语法 func(expr, axis=1, keepdims=True) 将 func 应用于每一行，返回一个 m 乘 1 的表达式。默认情况下 keepdims=False，这意味着长度为 1 的维度会被丢弃。例如，以下代码对矩阵变量的列和行进行求和：

X = cvxpy.Variable((5, 4))
col_sums = cvxpy.sum(X, axis=0, keepdims=True) # Has size (1, 4)
col_sums = cvxpy.sum(X, axis=0) # Has size (4,)
row_sums = cvxpy.sum(X, axis=1) # Has size (5,)

逐元素函数¶

这些函数对其参数的每个元素进行操作。例如，如果X是一个5行4列的矩阵变量，那么abs(X)就是一个5行4列的矩阵表达式。abs(X)[1, 2]等同于abs(X[1, 2])。

接受多个参数的逐元素函数，例如maximum和multiply，对每个参数的相应元素进行操作。例如，如果X和Y都是3乘3的矩阵变量，那么maximum(X, Y)是一个3乘3的矩阵表达式。 maximum(X, Y)[2, 0]等同于maximum(X[2, 0], Y[2, 0])。这意味着所有参数必须具有相同的维度或者是标量，标量会被提升。

函数	意义	领域	DCP 属性	曲率
abs(x)	$\lvert x \rvert$	$x \in \mathbf{C}$	正面的对于 $x \geq 0$ 对于 $x \leq 0$	凸
conj(x)	复共轭	$x \in \mathbf{C}$	未知符号	仿射
entr(x)	$-x \log (x)$	$x > 0$	未知符号	凹面
exp(x)	$e^x$	$x \in \mathbf{R}$	正面的增加。	凸
huber(x, M=1) $M \geq 0$	$\begin{cases}x^2 &\|x\| \leq M \\2M\|x\| - M^2&\|x\| >M\end{cases}$	$x \in \mathbf{R}$	正面的对于 $x \geq 0$ 对于 $x \leq 0$	凸
imag(x)	复数的虚部	$x \in \mathbf{C}$	未知符号	仿射
inv_pos(x)	$1/x$	$x > 0$	正面的减少。	凸
kl_div(x, y)	$x \log(x/y) - x + y$	$x > 0$ $y > 0$	正面的	凸
log(x)	$\log(x)$	$x > 0$	未知符号增加。	凹面
log_normcdf(x)	approximate 标准正态CDF的对数	$x \in \mathbf{R}$	负值增加。	凹面
log1p(x)	$\log(x+1)$	$x > -1$	与x同号增加。	凹面
loggamma(x)	近似 Gamma函数的对数	$x > 0$	未知符号	凸
logistic(x)	$\log(1 + e^{x})$	$x \in \mathbf{R}$	正面的增加。	凸
maximum(x, y)	$\max \left\{x, y\right\}$	$x,y \in \mathbf{R}$	符号取决于x,y 增加。	凸
minimum(x, y)	$\min \left\{x, y\right\}$	$x, y \in \mathbf{R}$	符号取决于x,y 增加。	凹面
multiply(c, x) $c \in \mathbf{R}$	c*x	$x \in\mathbf{R}$	$\mathrm{sign}(cx)$ 单调性取决于c	仿射
neg(x)	$\max \left\{-x, 0 \right\}$	$x \in \mathbf{R}$	正面的减少。	凸
pos(x)	$\max \left\{x, 0 \right\}$	$x \in \mathbf{R}$	正面的增加。	凸
power(x, 0)	$1$	$x \in \mathbf{R}$	正面的	常量
power(x, 1)	$x$	$x \in \mathbf{R}$	与x同号增加。	仿射
power(x, p) $p = 2, 4, 8, \ldots$	$x^p$	$x \in \mathbf{R}$	正面的对于 $x \geq 0$ 对于 $x \leq 0$	凸
power(x, p) $p < 0$	$x^p$	$x > 0$	正面的减少。	凸
power(x, p) $0 < p < 1$	$x^p$	$x \geq 0$	正面的增加。	凹面
power(x, p) $p > 1,\ p \neq 2, 4, 8, \ldots$	$x^p$	$x \geq 0$	正面的增加。	凸
real(x)	复数的实部	$x \in \mathbf{C}$	未知增加。	仿射
rel_entr(x, y)	$x \log(x/y)$	$x > 0$ $y > 0$	未知符号在 $y$	凸
scalene(x, alpha, beta) $\text{alpha} \geq 0$ $\text{beta} \geq 0$	$\alpha\mathrm{pos}(x)+ \beta\mathrm{neg}(x)$	$x \in \mathbf{R}$	正面的对于 $x \geq 0$ 对于 $x \leq 0$	凸
sqrt(x)	$\sqrt x$	$x \geq 0$	正面的增加。	凹面
square(x)	$x^2$	$x \in \mathbf{R}$	正面的对于 $x \geq 0$ 对于 $x \leq 0$	凸
xexp(x)	$x e^x$	$x \geq 0$	正面的增加。	凸

关于逐元素函数的说明¶

函数 log_normcdf 和 loggamma 是通过近似定义的。log_normcdf 在 -4 到 4 的范围内具有最高的精度，而 loggamma 在所有正实数上具有相似的精度。有关近似的详细信息，请参见 CVXPY GitHub PR #1224 和 CVXPY GitHub Issue #228。

向量/矩阵函数¶

向量/矩阵函数接受一个或多个标量、向量或矩阵作为参数，并返回一个向量或矩阵。

CVXPY 在确定由这些函数返回的表达式的符号时是保守的。如果这些函数的任何参数具有未知符号，则返回的表达式也将具有未知符号。如果所有参数都具有已知符号，但 CVXPY 可以确定返回的表达式在不同条目中会有不同的符号（例如，当堆叠一个正表达式和一个负表达式时），则返回的表达式将具有未知符号。

函数	意义	领域	曲率	单调性
bmat([[X11,…,X1q], …, [Xp1,…,Xpq]])	$\left[\begin{matrix} X^{(1,1)} & \cdots & X^{(1,q)} \\ \vdots & & \vdots \\ X^{(p,1)} & \cdots & X^{(p,q)} \end{matrix}\right]$	$X^{(i,j)} \in\mathbf{R}^{m_i \times n_j}$	仿射	增加。
convolve(c, x) $c\in\mathbf{R}^m$	$c*x$	$x\in \mathbf{R}^n$	仿射	依赖于c
cumsum(X, axis=0)	沿给定轴的累积和。	$X \in \mathbf{R}^{m \times n}$	仿射	增加。
diag(x)	$\left[\begin{matrix}x_1 & & \\& \ddots & \\& & x_n\end{matrix}\right]$	$x \in\mathbf{R}^{n}$	仿射	增加。
diag(X)	$\left[\begin{matrix}X_{11} \\\vdots \\X_{nn}\end{matrix}\right]$	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	仿射	增加。
diff(X, k=1, axis=0) $k \in 0,1,2,\ldots$	沿给定轴的第k阶差分	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	仿射	增加。
hstack([X1, …, Xk])	$\left[\begin{matrix}X^{(1)} \cdots X^{(k)}\end{matrix}\right]$	$X^{(i)} \in\mathbf{R}^{m \times n_i}$	仿射	增加。
kron(X, Y) 常数 $X\in\mathbf{R}^{p \times q}$	$\left[\begin{matrix}X_{11}Y & \cdots & X_{1q}Y \\ \vdots & & \vdots \\ X_{p1}Y & \cdots & X_{pq}Y \end{matrix}\right]$	$Y \in \mathbf{R}^{m \times n}$	仿射	依赖于 $X$
kron(X, Y) 常数 $Y\in\mathbf{R}^{m \times n}$	$\left[\begin{matrix}X_{11}Y & \cdots & X_{1q}Y \\ \vdots & & \vdots \\ X_{p1}Y & \cdots & X_{pq}Y \end{matrix}\right]$	$X \in \mathbf{R}^{p \times q}$	仿射	取决于 $Y$
outer(x, y) 常数 $y \in \mathbf{R}^m$	$x y^T$	$x \in \mathbf{R}^n$	仿射	取决于 $y$
partial_trace(X, dims, axis=0)	部分追踪	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	仿射	增加。
partial_transpose(X, dims, axis=0)	部分转置	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	仿射	增加。
reshape(X, (m’, n’), order=’F’)	$X' \in\mathbf{R}^{m' \times n'}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$ $m'n' = mn$	仿射	增加。
upper_tri(X)	展平$X$的严格上三角部分	$X \in \mathbf{R}^{n \times n}$	仿射	增加。
vec(X)	$x' \in\mathbf{R}^{mn}$	$X \in\mathbf{R}^{m \times n}$	仿射	增加。
vec_to_upper_tri(X, strict=False)	$x' \in\mathbf{R}^{n(n-1)/2}$ 当 `strict=True` $x' \in\mathbf{R}^{n(n+1)/2}$ 对于 `strict=False`	$X \in\mathbf{R}^{n \times n}$	仿射	增加。
vstack([X1, …, Xk])	$\left[\begin{matrix}X^{(1)} \\ \vdots \\X^{(k)}\end{matrix}\right]$	$X^{(i)} \in\mathbf{R}^{m_i \times n}$	仿射	增加。

关于向量和矩阵函数的说明¶

输入到 $\texttt{bmat}$ 的是一个CVXPY表达式的列表的列表。它构造了一个块矩阵。每个内部列表的元素水平堆叠，然后生成的块矩阵垂直堆叠。

输出 $y = \texttt{convolve}(c, x)$ 的大小为 $n+m-1$，并定义为 $y_k =\sum_{j=0}^{k} c[j]x[k-j]$。

输出 $y = \texttt{vec}(X)$ 是将矩阵 $X$ 按列主序展平为一个向量。形式上，$y_i = X_{i \bmod{m}, \left \lfloor{i/m}\right \rfloor }$。

输出 $Y = \texttt{reshape}(X, (m', n'), \text{order='F'})$ 是将矩阵 $X$ 转换为一个 $m' \times n'$ 矩阵。元素按列优先顺序从 $X$ 中取出，并按列优先顺序存储在 $Y$ 中。形式上，$Y_{ij} = \texttt{vec}(X)_{m'j + i}$。如果 order=’C’，则 $X$ 将按行优先顺序读取，并且 $Y$ 将按行优先顺序写入。

输出 $y = \texttt{upper_tri}(X)$ 是通过连接 $X$ 的部分行形成的。即，$y = (X[0,1{:}],\, X[1, 2{:}],\, \ldots, X[n-1, n])$。

函数	意义	领域	DCP 属性	曲率
cvar(x, beta)	平均值为 \((1-\beta)\) 在 \(x\) 中最大值的比例	\(x \in \mathbf{R}^m\) \(\beta \in (0,1)\)	符号取决于 \(x\) 增加。	凸
dotsort(X,W) 常数 \(W \in \mathbf{R}^{o \times p}\)	\(\text{点积}\) \(\operatorname{sort}\operatorname{vec}(X) \text{ 和}\) \(\operatorname{sort}\operatorname{vec}(W)\)	\(X \in \mathbf{R}^{m \times n}\)	符号取决于 \(X\) 和 \(W\) 当 \(\min(W) \geq 0\) 当 \(\max(W) \leq 0\)	凸
geo_mean(x) geo_mean(x, p) \(p \in \mathbf{R}^n_{+}\) \(p \neq 0\)	\(x_1^{1/n} \cdots x_n^{1/n}\) \(\left(x_1^{p_1} \cdots x_n^{p_n}\right)^{\frac{1}{\mathbf{1}^T p}}\)	\(x \in \mathbf{R}^n_{+}\)	正面的增加。	凹面
harmonic_mean(x)	\(\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\)	\(x \in \mathbf{R}^n_{+}\)	正面的增加。	凹面
inv_prod(x)	\((x_1\cdots x_n)^{-1}\)	\(x \in \mathbf{R}^n_+\)	正面的减少。	凸
lambda_max(X)	\(\lambda_{\max}(X)\)	\(X \in \mathbf{S}^n\)	未知符号	凸
lambda_min(X)	\(\lambda_{\min}(X)\)	\(X \in \mathbf{S}^n\)	未知符号	凹面
lambda_sum_largest(X,k) \(k = 1,\ldots, n\)	\(\text{sum of $k$ largest}\) \(\text{eigenvalues of $X$}\)	\(X \in\mathbf{S}^{n}\)	未知符号	凸
lambda_sum_smallest(X,k) \(k = 1,\ldots, n\)	\(\text{sum of $k$ smallest}\) \(\text{eigenvalues of $X$}\)	\(X \in\mathbf{S}^{n}\)	未知符号	凹面
log_det(X)	\(\log \left(\det (X)\right)\)	\(X \in \mathbf{S}^n_+\)	未知符号	凹面
log_sum_exp(X)	\(\log \left(\sum_{ij}e^{X_{ij}}\right)\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	未知符号增加。	凸
matrix_frac(x, P)	\(x^T P^{-1} x\)	\(x \in \mathbf{R}^n\) \(P \in\mathbf{S}^n_{++}\)	正面的	凸
max(X)	\(\max_{ij}\left\{ X_{ij}\right\}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	与X同号增加。	凸
mean(X)	\(\frac{1}{m n}\sum_{ij}\left\{ X_{ij}\right\}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	与X同号增加。	仿射
min(X)	\(\min_{ij}\left\{ X_{ij}\right\}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	与X同号增加。	凹面
mixed_norm(X, p, q) \(Y = \left(\sum_l\lvert x_{k,l}\rvert^p\right)\)	\(\left(\sum_k Y^{q/p}\right)^{1/q}\)	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	正面的	凸
norm(x) norm(x, 2)	\(\sqrt{\sum_{i} \lvert x_{i} \rvert^2 }\)	\(X \in\mathbf{R}^{n}\)	正面的对于 \(x_{i} \geq 0\) 当 \(x_{i} \leq 0\)	凸
norm(x, 1)	\(\sum_{i}\lvert x_{i} \rvert\)	\(x \in\mathbf{R}^{n}\)	正面的对于 \(x_{i} \geq 0\) 对于 \(x_{i} \leq 0\)	凸
norm(x, “inf”)	\(\max_{i} \{\lvert x_{i} \rvert\}\)	\(x \in\mathbf{R}^{n}\)	正面的对于 \(x_{i} \geq 0\) 当 \(x_{i} \leq 0\)	凸
norm(X, “fro”)	\(\sqrt{\sum_{ij}X_{ij}^2 }\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的对于 \(X_{ij} \geq 0\) 当 \(X_{ij} \leq 0\)	凸
norm(X, 1)	\(\max_{j} \\|X_{:,j}\\|_1\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的对于 \(X_{ij} \geq 0\) 当 \(X_{ij} \leq 0\)	凸
norm(X, “inf”)	\(\max_{i} \\|X_{i,:}\\|_1\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的对于 \(X_{ij} \geq 0\) 当 \(X_{ij} \leq 0\)	凸
norm(X, “nuc”)	\(\mathrm{tr}\left(\left(X^T X\right)^{1/2}\right)\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
norm(X) norm(X, 2)	\(\sqrt{\lambda_{\max}\left(X^T X\right)}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
perspective(f(x),s)	\(sf(x/s)\)	\(x \in \mathop{\bf dom} f\) \(s \geq 0\)	与f同号	/ 与 \(f\) 相同
pnorm(X, p) \(p \geq 1\) 或 `p = 'inf'`	\(\left(\sum_{ij} \|X_{ij}\|^p \right)^{1/p}\)	\(X \in \mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的对于 \(X_{ij} \geq 0\) 当 \(X_{ij} \leq 0\)	凸
pnorm(X, p) \(p < 1\), \(p \neq 0\)	\(\left(\sum_{ij} X_{ij}^p \right)^{1/p}\)	\(X \in \mathbf{R}^{m \times n}_+\)	正面的增加。	凹面
ptp(X)	\(\max_{ij} X_{ij}\) \(- \min_{ij} X_{ij}\)	\(X \in \mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
quad_form(x, P) 常数 \(P \in \mathbf{S}^n_+\)	\(x^T P x\)	\(x \in \mathbf{R}^n\)	正面的对于 \(x_i \geq 0\) 对于 \(x_i \leq 0\)	凸
quad_form(x, P) 常数 \(P \in \mathbf{S}^n_-\)	\(x^T P x\)	\(x \in \mathbf{R}^n\)	负值对于 \(x_i \geq 0\) 当 \(x_i \leq 0\)	凹面
quad_form(c, X) 常数 \(c \in \mathbf{R}^n\)	\(c^T X c\)	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	符号取决于 c, X 单调性取决于c	仿射
quad_over_lin(X, y)	\(\left(\sum_{ij}X_{ij}^2\right)/y\)	\(x \in \mathbf{R}^n\) \(y > 0\)	正面的对于 \(X_{ij} \geq 0\) 当 \(X_{ij} \leq 0\) 在 \(y\) 中减少	凸
std(X)	类似于 numpy.std	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
sum(X)	\(\sum_{ij}X_{ij}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	与X同号增加。	仿射
sum_largest(X, k) \(k = 1,2,\ldots\)	\(\text{sum of } k\text{ largest }X_{ij}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	与X同号增加。	凸
sum_smallest(X, k) \(k = 1,2,\ldots\)	\(\text{sum of } k\text{ smallest }X_{ij}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	与X同号增加。	凹面
sum_squares(X)	\(\sum_{ij}X_{ij}^2\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的对于 \(X_{ij} \geq 0\) 当 \(X_{ij} \leq 0\)	凸
trace(X)	\(\mathrm{tr}\left(X \right)\)	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	与X同号增加。	仿射
tr_inv(X)	\(\mathrm{tr}\left(X^{-1} \right)\)	\(X \in\mathbf{S}^n_{++}\)	正面的	凸
tv(x)	\(\sum_{i}\|x_{i+1} - x_i\|\)	\(x \in \mathbf{R}^n\)	正面的	凸
tv(X) \(Y = \left[\begin{matrix} X_{i+1,j} - X_{ij} \\ X_{i,j+1} -X_{ij} \end{matrix}\right]\)	\(\sum_{ij}\left\\| Y \right\\|_2\)	\(X \in \mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
tv([X1,…,Xk]) \(Y = \left[\begin{matrix} X_{i+1,j}^{(1)} - X_{ij}^{(1)} \\ X_{i,j+1}^{(1)} -X_{ij}^{(1)} \\ \vdots \\ X_{i+1,j}^{(k)} - X_{ij}^{(k)} \\ X_{i,j+1}^{(k)} -X_{ij}^{(k)} \end{matrix}\right]\)	\(\sum_{ij}\left\\| Y \right\\|_2\)	\(X^{(i)} \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
var(X)	类似于 numpy.var	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	正面的	凸
von_neumann_entr(X)	\(-\operatorname{tr}(X\operatorname{logm}(X))\)	\(X \in \mathbf{S}^{n}_+\)	未知符号	凹面

函数	意义	领域	DCP 属性	曲率
abs(x)	\(\lvert x \rvert\)	\(x \in \mathbf{C}\)	正面的对于 \(x \geq 0\) 对于 \(x \leq 0\)	凸
conj(x)	复共轭	\(x \in \mathbf{C}\)	未知符号	仿射
entr(x)	\(-x \log (x)\)	\(x > 0\)	未知符号	凹面
exp(x)	\(e^x\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的增加。	凸
huber(x, M=1) \(M \geq 0\)	\(\begin{cases}x^2 &\|x\| \leq M \\2M\|x\| - M^2&\|x\| >M\end{cases}\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的对于 \(x \geq 0\) 对于 \(x \leq 0\)	凸
imag(x)	复数的虚部	\(x \in \mathbf{C}\)	未知符号	仿射
inv_pos(x)	\(1/x\)	\(x > 0\)	正面的减少。	凸
kl_div(x, y)	\(x \log(x/y) - x + y\)	\(x > 0\) \(y > 0\)	正面的	凸
log(x)	\(\log(x)\)	\(x > 0\)	未知符号增加。	凹面
log_normcdf(x)	approximate 标准正态CDF的对数	\(x \in \mathbf{R}\)	负值增加。	凹面
log1p(x)	\(\log(x+1)\)	\(x > -1\)	与x同号增加。	凹面
loggamma(x)	近似 Gamma函数的对数	\(x > 0\)	未知符号	凸
logistic(x)	\(\log(1 + e^{x})\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的增加。	凸
maximum(x, y)	\(\max \left\{x, y\right\}\)	\(x,y \in \mathbf{R}\)	符号取决于x,y 增加。	凸
minimum(x, y)	\(\min \left\{x, y\right\}\)	\(x, y \in \mathbf{R}\)	符号取决于x,y 增加。	凹面
multiply(c, x) \(c \in \mathbf{R}\)	c*x	\(x \in\mathbf{R}\)	\(\mathrm{sign}(cx)\) 单调性取决于c	仿射
neg(x)	\(\max \left\{-x, 0 \right\}\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的减少。	凸
pos(x)	\(\max \left\{x, 0 \right\}\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的增加。	凸
power(x, 0)	\(1\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的	常量
power(x, 1)	\(x\)	\(x \in \mathbf{R}\)	与x同号增加。	仿射
power(x, p) \(p = 2, 4, 8, \ldots\)	\(x^p\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的对于 \(x \geq 0\) 对于 \(x \leq 0\)	凸
power(x, p) \(p < 0\)	\(x^p\)	\(x > 0\)	正面的减少。	凸
power(x, p) \(0 < p < 1\)	\(x^p\)	\(x \geq 0\)	正面的增加。	凹面
power(x, p) \(p > 1,\ p \neq 2, 4, 8, \ldots\)	\(x^p\)	\(x \geq 0\)	正面的增加。	凸
real(x)	复数的实部	\(x \in \mathbf{C}\)	未知增加。	仿射
rel_entr(x, y)	\(x \log(x/y)\)	\(x > 0\) \(y > 0\)	未知符号在 \(y\)	凸
scalene(x, alpha, beta) \(\text{alpha} \geq 0\) \(\text{beta} \geq 0\)	\(\alpha\mathrm{pos}(x)+ \beta\mathrm{neg}(x)\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的对于 \(x \geq 0\) 对于 \(x \leq 0\)	凸
sqrt(x)	\(\sqrt x\)	\(x \geq 0\)	正面的增加。	凹面
square(x)	\(x^2\)	\(x \in \mathbf{R}\)	正面的对于 \(x \geq 0\) 对于 \(x \leq 0\)	凸
xexp(x)	\(x e^x\)	\(x \geq 0\)	正面的增加。	凸

函数	意义	领域	曲率	单调性
bmat([[X11,…,X1q], …, [Xp1,…,Xpq]])	\(\left[\begin{matrix} X^{(1,1)} & \cdots & X^{(1,q)} \\ \vdots & & \vdots \\ X^{(p,1)} & \cdots & X^{(p,q)} \end{matrix}\right]\)	\(X^{(i,j)} \in\mathbf{R}^{m_i \times n_j}\)	仿射	增加。
convolve(c, x) \(c\in\mathbf{R}^m\)	\(c*x\)	\(x\in \mathbf{R}^n\)	仿射	依赖于c
cumsum(X, axis=0)	沿给定轴的累积和。	\(X \in \mathbf{R}^{m \times n}\)	仿射	增加。
diag(x)	\(\left[\begin{matrix}x_1 & & \\& \ddots & \\& & x_n\end{matrix}\right]\)	\(x \in\mathbf{R}^{n}\)	仿射	增加。
diag(X)	\(\left[\begin{matrix}X_{11} \\\vdots \\X_{nn}\end{matrix}\right]\)	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	仿射	增加。
diff(X, k=1, axis=0) \(k \in 0,1,2,\ldots\)	沿给定轴的第k阶差分	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	仿射	增加。
hstack([X1, …, Xk])	\(\left[\begin{matrix}X^{(1)} \cdots X^{(k)}\end{matrix}\right]\)	\(X^{(i)} \in\mathbf{R}^{m \times n_i}\)	仿射	增加。
kron(X, Y) 常数 \(X\in\mathbf{R}^{p \times q}\)	\(\left[\begin{matrix}X_{11}Y & \cdots & X_{1q}Y \\ \vdots & & \vdots \\ X_{p1}Y & \cdots & X_{pq}Y \end{matrix}\right]\)	\(Y \in \mathbf{R}^{m \times n}\)	仿射	依赖于 \(X\)
kron(X, Y) 常数 \(Y\in\mathbf{R}^{m \times n}\)	\(\left[\begin{matrix}X_{11}Y & \cdots & X_{1q}Y \\ \vdots & & \vdots \\ X_{p1}Y & \cdots & X_{pq}Y \end{matrix}\right]\)	\(X \in \mathbf{R}^{p \times q}\)	仿射	取决于 \(Y\)
outer(x, y) 常数 \(y \in \mathbf{R}^m\)	\(x y^T\)	\(x \in \mathbf{R}^n\)	仿射	取决于 \(y\)
partial_trace(X, dims, axis=0)	部分追踪	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	仿射	增加。
partial_transpose(X, dims, axis=0)	部分转置	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	仿射	增加。
reshape(X, (m’, n’), order=’F’)	\(X' \in\mathbf{R}^{m' \times n'}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\) \(m'n' = mn\)	仿射	增加。
upper_tri(X)	展平\(X\)的严格上三角部分	\(X \in \mathbf{R}^{n \times n}\)	仿射	增加。
vec(X)	\(x' \in\mathbf{R}^{mn}\)	\(X \in\mathbf{R}^{m \times n}\)	仿射	增加。
vec_to_upper_tri(X, strict=False)	\(x' \in\mathbf{R}^{n(n-1)/2}\) 当 `strict=True` \(x' \in\mathbf{R}^{n(n+1)/2}\) 对于 `strict=False`	\(X \in\mathbf{R}^{n \times n}\)	仿射	增加。
vstack([X1, …, Xk])	\(\left[\begin{matrix}X^{(1)} \\ \vdots \\X^{(k)}\end{matrix}\right]\)	\(X^{(i)} \in\mathbf{R}^{m_i \times n}\)	仿射	增加。