gomory_hu_tree#

gomory_hu_tree(G, capacity='capacity', flow_func=None)[source]#

返回无向图 G 的 Gomory-Hu 树。

无向图的 Gomory-Hu 树是一个加权树，表示图中所有 s-t 对的最小 s-t 割。

它只需要 n-1 次最小割计算，而不是明显的 n(n-1)/2 次。该树表示所有 s-t 割，因为任意一对节点之间的最小割值是 Gomory-Hu 树中这两节点之间最短路径上的最小边权重。

Gomory-Hu 树还具有以下性质：删除任意两节点之间最短路径上的最小权重边后，剩下的两个连通分量形成了 G 中节点的划分，定义了最小 s-t 割。

详见下面的示例部分。

Parameters:

GNetworkX 图: 无向图
capacity字符串: 图 G 的边应具有一个 capacity 属性，表示该边能支持的流量。如果该属性不存在，则认为该边具有无限容量。默认值：’capacity’。
flow_func函数: 执行底层流量计算的函数。默认值：edmonds_karp() 。该函数在具有右尾度分布的稀疏图中表现更好。 shortest_augmenting_path() 在更密集的图中表现更好。

Returns:

TreeNetworkX 图: 表示输入图的 Gomory-Hu 树的 NetworkX 图。

Raises:

NetworkXNotImplemented: 如果输入图是有向图，则引发此异常。
NetworkXError: 如果输入图是空图，则引发此异常。

See also

minimum_cut()
maximum_flow()

Notes

此实现基于 Gusfield 的方法 [1] 来计算 Gomory-Hu 树，该方法不需要节点收缩，并且具有与原始方法相同的计算复杂度。

References

[1]

Gusfield D: Very simple methods for all pairs network flow analysis. SIAM J Comput 19(1):143-155, 1990.

Examples

>>> G = nx.karate_club_graph()
>>> nx.set_edge_attributes(G, 1, "capacity")
>>> T = nx.gomory_hu_tree(G)
>>> # G 中任意一对节点之间的最小割值是
... # Gomory-Hu 树中这两节点之间最短路径上的最小边权重。
... def minimum_edge_weight_in_shortest_path(T, u, v):
...     path = nx.shortest_path(T, u, v, weight="weight")
...     return min((T[u][v]["weight"], (u, v)) for (u, v) in zip(path, path[1:]))
>>> u, v = 0, 33
>>> cut_value, edge = minimum_edge_weight_in_shortest_path(T, u, v)
>>> cut_value
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>>> nx.minimum_cut_value(G, u, v)
10
>>> # Gomory-Hu 树还具有以下性质：删除任意两节点之间最短路径上
... # 的最小权重边后，剩下的两个连通分量形成了 G 中节点的划分，
... # 定义了最小 s-t 割。
... cut_value, edge = minimum_edge_weight_in_shortest_path(T, u, v)
>>> T.remove_edge(*edge)
>>> U, V = list(nx.connected_components(T))
>>> # 因此 U 和 V 形成了一个划分，定义了 G 中 u 和 v 之间的最小割。
... # 你可以用这些信息计算边割集，即，如果从 G 中移除这些边，
... # 将使 u 和 v 在 G 中不连通：
... cutset = set()
>>> for x, nbrs in ((n, G[n]) for n in U):
...     cutset.update((x, y) for y in nbrs if y in V)
>>> # 因为我们设置了所有边的容量为 1
... # 所以割集包含十条边
... len(cutset)
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>>> # 你可以使用任何最大流算法进行底层流量计算，
... # 使用 flow_func 参数
... from networkx.algorithms import flow
>>> T = nx.gomory_hu_tree(G, flow_func=flow.boykov_kolmogorov)
>>> cut_value, edge = minimum_edge_weight_in_shortest_path(T, u, v)
>>> cut_value
10
>>> nx.minimum_cut_value(G, u, v, flow_func=flow.boykov_kolmogorov)
10