numpy.linalg.norm#

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)[源代码]#

矩阵或向量范数.

此函数能够返回八种不同的矩阵范数之一,或无穷多种向量范数之一（如下所述）,具体取决于 ord 参数的值.

参数:
xarray_like

输入数组.如果 axis 是 None,`x` 必须是 1-D 或 2-D,除非 ord 是 None.如果 axis 和 ord 都是 None,将返回 x.ravel 的 2-范数.

ord{非零整数, 无穷大, 负无穷大, ‘fro’, ‘nuc’},可选

范数的顺序（见 Notes 下的表格）.inf 表示 numpy 的 inf 对象.默认值为 None.

axis{None, int, 2个整数的元组}, 可选.

如果 axis 是一个整数,它指定沿 x 的哪个轴计算向量范数.如果 axis 是一个 2 元组,它指定保存 2-D 矩阵的轴,并计算这些矩阵的矩阵范数.如果 axis 是 None,则返回向量范数（当 x 是 1-D 时）或矩阵范数（当 x 是 2-D 时）.默认值是 None.

在 1.8.0 版本加入.

keepdims布尔值, 可选

如果设置为 True,被归一化的轴将保留在结果中,作为大小为一的维度.使用此选项,结果将与原始 x 正确广播.

在 1.10.0 版本加入.

返回:
n浮点数或ndarray

矩阵或向量的范数.

参见

scipy.linalg.norm

SciPy 中的类似功能.

备注

对于 ord < 1 的值,严格来说,结果不是一个数学上的 ‘范数’,但它可能在各种数值应用中仍然有用.

可以计算以下范数:

ord

矩阵的范数

向量的范数

None

Frobenius 范数

2-范数

‘fro’

Frobenius 范数

–

‘nuc’

nuclear norm

–

inf

max(sum(abs(x), axis=1))

max(abs(x))

-inf

min(sum(abs(x), axis=1))

min(abs(x))

0

–

sum(x != 0)

1

max(sum(abs(x), axis=0))

如下

-1

min(sum(abs(x), axis=0))

如下

2

2-范数 (最大奇异值)

如下

-2

最小奇异值

如下

其他

–

sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

Frobenius 范数由 [1] 给出:

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核范数是奇异值的和.

Frobenius 和核范数顺序仅针对矩阵定义,当 x.ndim != 2 时会引发 ValueError.

参考文献

[1]

G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 1985, pg. 15

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

使用 axis 参数计算向量范数:

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

使用 axis 参数计算矩阵范数:

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)
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