numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d#

polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, deg)[源代码]#

给定度数的伪范德蒙矩阵.

返回度数为 deg 和采样点 (x, y) 的伪范德蒙矩阵.伪范德蒙矩阵定义为

\[V[..., (deg[1] + 1)*i + j] = x^i * y^j,\]

其中 0 <= i <= deg[0] 且 0 <= j <= deg[1].`V` 的前导索引索引点 (x, y),最后一个索引编码 x 和 y 的幂.

如果 V = polyvander2d(x, y, [xdeg, ydeg]),那么 V 的列对应于一个形状为 (xdeg + 1, ydeg + 1) 的 2-D 系数数组 c 的元素,顺序为

\[c_{00}, c_{01}, c_{02} ... , c_{10}, c_{11}, c_{12} ...\]

并且 np.dot(V, c.flat) 和 polyval2d(x, y, c) 在舍入误差范围内将是相同的.这种等价性对于最小二乘拟合和评估大量相同次数和样本点的二维多项式非常有用.

参数:
x, yarray_like

点坐标的数组,所有形状相同.dtypes 将根据元素是否为复数转换为 float64 或 complex128.标量转换为 1 维数组.

deg整数列表

最大度数列表,形式为 [x_deg, y_deg].

返回:
vander2dndarray

返回矩阵的形状是 x.shape + (order,),其中 \(order = (deg[0]+1)*(deg([1]+1)\).dtype 将与转换后的 x 和 y 相同.

参见

polyvander, polyvander3d, polyval2d, polyval3d

示例

>>> import numpy as np

度数为 [1, 2] 和样本点 x = [-1, 2] 以及 y = [1, 3] 的二维伪范德蒙矩阵如下:

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.array([-1, 2])
>>> y = np.array([1, 3])
>>> m, n = 1, 2
>>> deg = np.array([m, n])
>>> V = P.polyvander2d(x=x, y=y, deg=deg)
>>> V
array([[ 1.,  1.,  1., -1., -1., -1.],
       [ 1.,  3.,  9.,  2.,  6., 18.]])

我们可以验证任意 0 <= i <= m 和 0 <= j <= n 的列:

>>> i, j = 0, 1
>>> V[:, (deg[1]+1)*i + j] == x**i * y**j
array([ True,  True])

样本点 x 和度 m 的 (1D) Vandermonde 矩阵是 (2D) 伪 Vandermonde 矩阵的一个特例,其中 y 点全为零,度为 [m, 0].

>>> P.polyvander2d(x=x, y=0*x, deg=(m, 0)) == P.polyvander(x=x, deg=m)
array([[ True,  True],
       [ True,  True]])
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