DAR模型

简介

高斯状态空间模型——通常被称为结构时间序列或不可观测成分模型——提供了一种将时间序列分解为多个不同成分的方法。如果误差项联合服从高斯分布，则可以使用卡尔曼滤波器以闭合形式提取这些成分，并通过预测误差分解和最大似然估计来估计参数。

我们可以在这个框架中编写一个动态自回归模型如下：

\[y_{t} = \sum^{p}_{i=1}\phi_{i,t}y_{t-i} + \epsilon_{t}\]

\[\phi_{i,t}= \phi_{i,t-1} + \eta_{i,t}\]

\[\epsilon_{t} \sim N\left(0,\sigma^{2}\right)\]

\[\eta_{i,t} \sim N\left(0,\sigma_{\eta_{i}}^{2}\right)\]

换句话说，动态自回归系数遵循随机游走。

示例

我们将对年度太阳黑子数据运行一个动态自回归(DAR)模型：

import numpy as np
import pandas as pd
import pyflux as pf
from datetime import datetime
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

data = pd.read_csv('https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/datasets/sunspot.year.csv')
data.index = data['time'].values

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.plot(data.index,data['sunspot.year'])
plt.ylabel('Sunspots')
plt.title('Yearly Sunspot Data');

这里我们指定了一个任意的DAR(9)模型（注意：该模型可能存在过度参数化的问题）。

model = pf.DAR(data=data, ar=9, integ=0, target='sunspot.year')

接下来我们估计潜在变量。对于这个例子，我们将使用最大似然点质量估计 \(z^{MLE}\)：

x = model.fit("MLE")
x.summary()

DAR(9, integrated=0)
====================================== =================================================
Dependent Variable: sunspot.year       Method: MLE
Start Date: 1709                       Log Likelihood: -1179.097
End Date: 1988                         AIC: 2380.194
Number of observations: 280            BIC: 2420.1766
========================================================================================
Latent Variable         Estimate   Std Error  z        P>|z|    95% C.I.
======================= ========== ========== ======== ======== ========================
Sigma^2 irregular       0.301
Constant                60.0568    23.83      2.5202   0.0117   (13.3499 | 106.7637)
Sigma^2 AR(1)           0.005
Sigma^2 AR(2)           0.0
Sigma^2 AR(3)           0.0005
Sigma^2 AR(4)           0.0001
Sigma^2 AR(5)           0.0002
Sigma^2 AR(6)           0.0011
Sigma^2 AR(7)           0.0002
Sigma^2 AR(8)           0.0003
Sigma^2 AR(9)           0.032
=========================================================================================

注意结果表中没有标准误差，因为它显示的是转换后的参数。如果我们想要标准误差，可以调用x.summary(transformed=False)。接下来我们将使用plot_fit()绘制样本内拟合和动态系数：

model.plot_fit(figsize=(15,10))

初始阶段的剧烈变化反映了扩散初始化的影响；结合较高的初始不确定性，这导致在序列初期会有更强的更新。我们可以使用plot_predict进行前向预测：

我们可以通过plot_predict()方法进行向前预测：

model.plot_predict(h=50, past_values=40, figsize=(15,5))

这里的预测区间并不现实，反映了我们选择的高斯分布假设——太阳黑子数量不可能为负！——但如果我们只想要预测值本身，可以使用predict()方法。

类描述

class DAR(data, ar, integ, target, family)

动态自回归模型 (DAR).

参数	类型	描述
data	pd.DataFrame or np.ndarray	包含单变量时间序列
ar	int	自回归滞后阶数
integ	int	数据差分次数 (默认: 0)
target	string or int	指定使用DataFrame/array中的哪一列。
family	pf.Family instance	The distribution for the time series, e.g pf.Normal()

属性

latent_variables

一个包含模型潜在变量信息的pf.LatentVariables()对象，包括先验设置、任何拟合值、初始值和其他潜在变量信息。当模型被拟合时，这里就是潜在变量被更新/存储的地方。有关此对象内属性的信息以及访问潜在变量信息的方法，请参阅潜在变量文档。

方法

adjust_prior(index, prior)

调整模型潜在变量的先验分布。潜在变量及其索引可以通过打印附加到模型实例的latent_variables属性来查看。

参数	类型	描述
index	int	要更改的潜变量索引
prior	pf.Family instance	Prior distribution, e.g. pf.Normal()

返回: void - 修改模型的 latent_variables 属性

fit(method, **kwargs)

估计模型的潜在变量。用户选择一个推断选项，该方法会返回一个结果对象，同时更新模型的latent_variables属性。

参数	类型	描述
method	str	推断选项：例如 'M-H' 或 'MLE'

请参阅文档中的贝叶斯推断和经典推断部分，了解完整的推断选项列表。可以输入与所选特定推断模式相关的可选参数。

返回: 包含估计潜在变量信息的pf.Results实例

plot_fit(**kwargs)

绘制模型对数据的拟合情况。可选参数包括figsize，即绘图图形的尺寸。

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_predict(h, past_values, intervals, **kwargs)

绘制模型的预测结果，并附带置信区间。

参数	类型	描述
h	int	预测向前多少步
past_values	int	要绘制的历史数据点数量
intervals	boolean	是否绘制区间

可选参数包括figsize - 图表绘制的尺寸。请注意 如果您使用最大似然估计或变分推断，显示的区间将不会 反映潜在变量的不确定性。只有Metropolis-Hastings方法能提供完全贝叶斯 预测区间。由于平均场推断的局限性（无法考虑后验相关性）， 变分推断的贝叶斯区间不予显示。

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_predict_is(h, fit_once, fit_method, **kwargs)

绘制模型在样本内的滚动预测。这意味着用户假装数据的最后一部分是样本外的，并在每个时间段后进行预测并评估其表现。用户可以选择是在开始时一次性拟合参数，还是在每个时间步都进行拟合。

参数	类型	描述
h	int	使用多少个先前的时间步
fit_once	boolean	是否只拟合一次，还是每个时间步都拟合
fit_method	str	选择哪种推断方法，例如'MLE'

可选参数包括figsize - 要绘制的图形尺寸。h是一个整数，表示要模拟性能的前几步。

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_z(indices, figsize)

返回潜在变量及其相关不确定性的绘图。

参数	类型	描述
indices	int or list	要绘制的潜变量索引
figsize	tuple	matplotlib图形的大小

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

predict(h)

返回模型预测结果的DataFrame。

参数	类型	描述
h	int	预测向前多少步

返回 : pd.DataFrame - 模型预测结果

predict_is(h, fit_once, fit_method)

返回模型样本内滚动预测的DataFrame。

参数	类型	描述
h	int	使用多少个先前的时间步
fit_once	boolean	是否只拟合一次，还是每个时间步都拟合
fit_method	str	选择哪种推断方法，例如'MLE'

返回 : pd.DataFrame - 模型预测结果

simulation_smoother(beta)

返回从Durbin和Koopman(2002)模拟平滑器中抽取的数据的np.ndarray数组。

参数	类型	描述
beta	np.array	潜在变量的np.array数组

如果已经拟合了模型，建议直接使用model.latent_variables.get_z_values()作为beta输入。

返回 : np.ndarray - 来自模拟平滑器的样本

参考文献

Durbin, J. 和 Koopman, S. J. (2002). 一种简单高效的状态空间时间序列分析模拟平滑器。Biometrika, 89(3):603–615.

Harvey, A. C. (1989). 《预测、结构时间序列模型与卡尔曼滤波》。 剑桥大学出版社，剑桥。