GAS模型

简介

广义自回归得分（GAS）模型是Creal等人（2013年）和Harvey（2013年）提出的一类针对非正态数据的观测驱动时间序列模型。对于一个具有观测值\(y_{t}\)和潜在时变参数\(x_{t}\)的条件观测密度\(p\left(y_{t}\mid{x_{t}}\right)\)，我们假设参数\(x_{t}\)遵循以下递归关系：

\[x_{t} = \mu + \sum^{p}_{i=1}\phi_{i}x_{t-i} + \sum^{q}_{j=1}\alpha_{j}S\left(x_{j-1}\right)\frac{\partial\log p\left(y_{t-j}\mid{x_{t-j}}\right) }{\partial{x_{t-j}}}\]

例如，对于泊松分布密度，默认缩放为\(\exp\left(x_{j}\right)\)，其时变参数遵循：

\[x_{t} = \mu + \sum^{p}_{i=1}\phi_{i}x_{t-i} + \sum^{q}_{j=1}\alpha_{j}\left(\frac{y_{t-j}}{\exp\left(x_{t-j}\right)} - 1\right)\]

这类模型可被视为参数驱动状态空间模型的近似形式，在预测性能方面通常具有竞争力。如需了解超越简单自回归形式的更广义模型类别，请参阅GAS状态空间模型。本笔记本中讨论的简单GAS模型可视为非线性ARIMA过程的近似形式。

示例

以下我们展示一个关于计数数据的示例。该数据记录了某一年中世界上某个国家是否经历了银行业危机。

import numpy as np
import pyflux as pf
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

data = pd.read_csv("https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/Ecdat/bankingCrises.csv")
numpy_data = np.sum(data.iloc[:,2:73].values,axis=1)
numpy_data[np.isnan(numpy_data)] = 0
financial_crises = pd.DataFrame(numpy_data)
financial_crises.index = data.year
financial_crises.columns = ["Number of banking crises"]

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.plot(financial_crises)
plt.ylabel("Count")
plt.xlabel("Year")
plt.title("Number of banking crises across the world")
plt.show()

这里我们指定一个任意的\(GAS(2,0,2)\)模型，使用Poisson()族：

model = pf.GAS(ar=2, sc=2, data=financial_crises, family=pf.Poisson())

接下来我们估计潜在变量。对于这个例子，我们将使用最大似然点质量估计 \(z^{MLE}\)：

x = model.fit("MLE")
x.summary()

PoissonGAS (2,0,2)
======================================== ==================================================
Dependent Variable: No of crises         Method: MLE
Start Date: 1802                         Log Likelihood: -497.8648
End Date: 2010                           AIC: 1005.7297
Number of observations: 209              BIC: 1022.4413
===========================================================================================
Latent Variable           Estimate   Std Error  z        P>|z|    95% C.I.
========================= ========== ========== ======== ======== =========================
Constant                  0.0        0.0267     0.0      1.0      (-0.0524 | 0.0524)
AR(1)                     0.4502     0.0552     8.1544   0.0      (0.342 | 0.5584)
AR(2)                     0.4595     0.0782     5.8776   0.0      (0.3063 | 0.6128)
SC(1)                     0.2144     0.0241     8.8929   0.0      (0.1671 | 0.2616)
SC(2)                     0.0571     0.0042     13.5323  0.0      (0.0488 | 0.0654)
===========================================================================================

我们可以绘制潜在变量 \(z^{MLE}\)：使用 plot_z() 方法：

model.plot_z(figsize=(15,5))

我们可以使用plot_fit()来绘制样本内拟合图：

model.plot_fit(figsize=(15,10))

我们可以通过使用plot_predict_is()方法进行滚动样本内预测来了解模型的性能：

model.plot_predict_is(h=20, fit_once=True, figsize=(15,5))

如果我们想要绘制预测结果，可以使用plot_predict()方法：

model.plot_predict(h=10, past_values=30, figsize=(15,5))

如果我们希望以DataFrame格式获取预测结果，可以直接使用predict()方法。

类描述

class GAS(data, ar, sc, integ, target, family)

广义自回归评分模型 (GAS).

参数	类型	描述
data	pd.DataFrame or np.ndarray	包含单变量时间序列
ar	int	自回归滞后阶数
sc	int	得分函数滞后项的数量
integ	int	数据差分次数 (默认: 0)
target	string or int	指定使用DataFrame/array中的哪一列。
family	pf.Family instance	The distribution for the time series, e.g pf.Normal()

属性

latent_variables

一个包含模型潜在变量信息的pf.LatentVariables()对象，包括先验设置、任何拟合值、初始值和其他潜在变量信息。当模型被拟合时，这里就是潜在变量被更新/存储的地方。有关此对象内属性的信息以及访问潜在变量信息的方法，请参阅潜在变量文档。

方法

adjust_prior(index, prior)

调整模型潜在变量的先验分布。潜在变量及其索引可以通过打印附加到模型实例的latent_variables属性来查看。

参数	类型	描述
index	int	要更改的潜变量索引
prior	pf.Family instance	Prior distribution, e.g. pf.Normal()

返回: void - 修改模型的 latent_variables 属性

fit(method, **kwargs)

估计模型的潜在变量。用户选择一个推断选项，该方法会返回一个结果对象，同时更新模型的latent_variables属性。

参数	类型	描述
method	str	推断选项：例如 'M-H' 或 'MLE'

请参阅文档中的贝叶斯推断和经典推断部分，了解完整的推断选项列表。可以输入与所选特定推断模式相关的可选参数。

返回: 包含估计潜在变量信息的pf.Results实例

plot_fit(**kwargs)

绘制模型对数据的拟合情况。可选参数包括figsize，即绘图图形的尺寸。

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_ppc(T, nsims)

绘制后验预测检查的直方图，使用用户选择的差异度量。此方法仅在使用贝叶斯推断进行拟合时有效。

参数	类型	描述
T	function	Discrepancy, e.g. np.mean or np.max
nsims	int	PPC需要进行多少次模拟

返回值: void - 显示一个matplotlib绘图

plot_predict(h, past_values, intervals, **kwargs)

绘制模型的预测结果，并附带置信区间。

参数	类型	描述
h	int	预测向前多少步
past_values	int	要绘制的历史数据点数量
intervals	boolean	是否绘制区间

可选参数包括figsize - 图表绘制的尺寸。请注意 如果您使用最大似然估计或变分推断，显示的区间将不会 反映潜在变量的不确定性。只有Metropolis-Hastings方法能提供完全贝叶斯 预测区间。由于平均场推断的局限性（无法考虑后验相关性）， 变分推断的贝叶斯区间不予显示。

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_predict_is(h, fit_once, fit_method, **kwargs)

绘制模型在样本内的滚动预测。这意味着用户假装数据的最后一部分是样本外的，并在每个时间段后进行预测并评估其表现。用户可以选择是在开始时一次性拟合参数，还是在每个时间步都进行拟合。

参数	类型	描述
h	int	使用多少个先前的时间步
fit_once	boolean	是否只拟合一次，还是每个时间步都拟合
fit_method	str	选择哪种推断方法，例如'MLE'

可选参数包括figsize - 要绘制的图形尺寸。h是一个整数，表示要模拟性能的前几步。

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_sample(nsims, plot_data=True)

绘制模型后验预测密度的样本。此方法仅适用于通过贝叶斯推断拟合的模型。

参数	类型	描述
nsims	int	需要抽取的样本数量
plot_data	boolean	是否同时绘制真实数据

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

plot_z(indices, figsize)

返回潜在变量及其相关不确定性的绘图。

参数	类型	描述
indices	int or list	要绘制的潜变量索引
figsize	tuple	matplotlib图形的大小

返回 : void - 显示一个matplotlib绘图

ppc(T, nsims)

返回后验预测检验的p值。此方法仅在您使用贝叶斯推断进行拟合时才有效。

参数	类型	描述
T	function	Discrepancy, e.g. np.mean or np.max
nsims	int	PPC需要进行多少次模拟

返回值: int - 差异检验的p值

predict(h, intervals=False)

返回模型预测结果的DataFrame。

参数	类型	描述
h	int	预测向前多少步
intervals	boolean	是否返回预测区间

请注意，如果您使用最大似然估计或变分推断，显示的区间将不会反映潜在变量的不确定性。只有Metropolis-Hastings方法能提供完全贝叶斯预测区间。由于平均场推断的局限性（未考虑后验相关性），变分推断的贝叶斯区间未予显示。

返回 : pd.DataFrame - 模型预测结果

predict_is(h, fit_once, fit_method)

返回模型样本内滚动预测的DataFrame。

参数	类型	描述
h	int	使用多少个先前的时间步
fit_once	boolean	是否只拟合一次，还是每个时间步都拟合
fit_method	str	选择哪种推断方法，例如'MLE'

返回 : pd.DataFrame - 模型预测结果

sample(nsims)

返回从后验预测密度中抽取的数据的np.ndarray数组。此方法仅在您使用贝叶斯推断拟合模型时才有效。

参数	类型	描述
nsims	int	进行多少次后验抽样

返回值 : np.ndarray - 来自后验预测密度的样本。

参考文献

Creal, D; Koopman, S.J.; Lucas, A. (2013). 广义自回归评分模型及其应用. 应用计量经济学杂志, 28(5), 777–795. doi:10.1002/jae.1279.

哈维, A.C. (2013). 《波动性与厚尾动态模型：在金融与经济时间序列中的应用》. 剑桥大学出版社.