在NumPy中确定静态平衡#
在分析物理结构时，理解保持它们稳定的力学机制至关重要。施加在地板、梁或其他结构上的力会产生反作用力和力矩。这些反作用力是结构抵抗移动而不破坏的力。在结构即使受到力作用也不移动的情况下，牛顿第二定律指出，系统的加速度和所有方向上的力之和必须为零。你可以用NumPy数组表示和解决这个概念。
你将做什么：#
在本教程中，您将使用 NumPy 通过 NumPy 数组创建向量和矩
解决涉及电缆和地板支撑结构的问题
写入 NumPy 矩阵以隔离未知数
使用 NumPy 函数执行线性代数运算
你将学到什么：#
如何使用 NumPy 表示点、向量和矩。
如何找到向量的法线
使用 NumPy 计算矩阵运算
你需要什么：#
NumPy
通过以下命令导入：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
在本教程中，您将使用以下 NumPy 工具：
np.linalg.norm: 此函数确定向量大小的度量np.cross: 这个函数接受两个矩阵并生成叉积
用牛顿第二定律求解平衡#
你的模型由一个在力和力矩总和作用下的梁组成。你可以从牛顿第二定律开始分析这个系统：
为了简化所考虑的例子，假设它们是静态的，加速度\(=0\)。由于我们的系统存在于三维空间中，考虑在这些维度中施加的力。这意味着你可以将这些力表示为向量。对于力矩，你也会得出相同的结论，力矩是由于力在物体质心一定距离处施加而产生的。
假设力 \(F\) 表示为一个三维向量
其中三个分量分别表示在每个对应方向上施加的力的大小。还假设向量中的每个分量
是力在每个分量施加点与系统质心之间的距离。然后，可以通过以下公式计算力矩：
从一些简单的力矢量示例开始
forceA = np.array([1, 0, 0])
forceB = np.array([0, 1, 0])
print("Force A =", forceA)
print("Force B =", forceB)
Force A = [1 0 0]
Force B = [0 1 0]
这定义了 forceA 为一个在 \(x\) 方向上大小为 1 的向量，并将 forceB 定义为在 \(y\) 方向上大小为 1 的向量。
为了更好地理解这些力如何相互作用，可视化这些力可能会有所帮助。Matplotlib 是一个具有可视化工具的库，可以用于此目的。将使用箭头图来演示 三维向量，但该库也可以用于 二维演示。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0]) # defining the point of application. Make it the origin
u, v, w = forceA # breaking the force vector into individual components
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
plt.legend()
plt.show()
从单个点发出两个力。为了简化这个问题，你可以将它们相加以求出合力。注意，forceA 和 forceB 都是三维向量，用 NumPy 表示为具有三个分量的数组。因为 NumPy 旨在简化和优化向量之间的操作，所以你可以很容易地计算这两个向量的和，如下所示：
forceC = forceA + forceB
print("Force C =", forceC)
Force C = [1 1 0]
力 C 现在作为代表 A 和 B 的单一力。你可以绘制它以查看结果。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
u, v, w = forceC
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="g", label="forceC")
plt.legend()
plt.show()
然而，目标是平衡。这意味着你希望你的合力为 \((0, 0, 0)\)，否则你的物体会经历加速。因此，需要有另一个力来抵消之前的力。
你可以将这个问题写成 \(A+B+R=0\)，其中 \(R\) 是解决问题的反作用力。
在这个例子中，这意味着：
分解为 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 分量，这给你：
求解 \(R_x\)、\(R_y\) 和 \(R_z\) 给你一个向量 \(R\) 为 \((-1, -1, 0)\)。
如果绘制，前例中看到的力应被抵消。只有在没有剩余力的情况下，系统才被认为是处于平衡状态。
R = np.array([-1, -1, 0])
fig = plt.figure()
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA + forceB + R # add them all together for sum of forces
d3.quiver(x, y, z, u, v, w)
plt.show()
空图表示没有外力。这表示一个处于平衡状态的系统。
求解平衡作为力矩之和#
接下来让我们转向一个更复杂的应用。当力不是全部施加在同一点时，会产生力矩。
类似于力，这些力矩必须全部相加为零，否则将经历旋转加速度。类似于力的总和，这为空间中的每个坐标方向创建了一个线性方程。
一个简单的例子是施加在一个固定在地面上静止杆子上的力。杆子没有移动，所以它必须施加一个反作用力。杆子也没有旋转，所以它也必须产生一个反作用力矩。求解反作用力和力矩。
假设一个5N的力垂直作用在离杆底2米高的地方。
f = 5 # Force in newtons
L = 2 # Length of the pole
R = 0 - f
M = 0 - f * L
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = -5
Reaction moment = -10
通过物理属性查找值#
假设有一个力不是垂直作用于梁上，而是通过一根也固定在地面上的绳索作用在我们的杆上。给定这根绳索的张力，你只需要这些物体的物理位置就能解决这个问题。
在作用于杆的力作用下，基底在x和y方向上产生了反作用力，以及一个反作用力矩。
将杆的底部表示为原点。现在，假设绳索在地面上沿 x 方向连接到 3 米处，并沿 z 方向向上连接到杆的 2 米处。
将这些点在空间中定义为 NumPy 数组，然后使用这些数组来找到方向向量。
poleBase = np.array([0, 0, 0])
cordBase = np.array([3, 0, 0])
cordConnection = np.array([0, 0, 2])
poleDirection = cordConnection - poleBase
print("Pole direction =", poleDirection)
cordDirection = cordBase - cordConnection
print("Cord direction =", cordDirection)
Pole direction = [0 0 2]
Cord direction = [ 3 0 -2]
为了在使用这些向量与力相关时，你需要将它们转换为单位向量。单位向量的量级为一，并且仅传达力的方向。
cordUnit = cordDirection / np.linalg.norm(cordDirection)
print("Cord unit vector =", cordUnit)
Cord unit vector = [ 0.83205029 0. -0.5547002 ]
然后，你可以将这个方向与力的大小相乘，以找到力矢量。
假设绳子的张力为5N：
cordTension = 5
forceCord = cordUnit * cordTension
print("Force from the cord =", forceCord)
Force from the cord = [ 4.16025147 0. -2.77350098]
为了找到你需要的力量矢量和半径的叉积的时刻。
momentCord = np.cross(forceCord, poleDirection)
print("Moment from the cord =", momentCord)
Moment from the cord = [ 0. -8.32050294 0. ]
现在你需要做的就是找到反作用力和力矩。
equilibrium = np.array([0, 0, 0])
R = equilibrium - forceCord
M = equilibrium - momentCord
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = [-4.16025147 0. 2.77350098]
Reaction moment = [0. 8.32050294 0. ]
另一个例子#
让我们来看一个稍微复杂一点的模型。在这个例子中，你将观察到一个带有两根电缆和施加力的梁。这次你需要找到电缆的张力和梁的反作用力。(来源: Vector Mechanics for Engineers: Statics, Problem 4.106)
定义距离 a 为 3 米
如前所述，首先将每个相关点的位置定义为一个数组。
A = np.array([0, 0, 0])
B = np.array([0, 3, 0])
C = np.array([0, 6, 0])
D = np.array([1.5, 0, -3])
E = np.array([1.5, 0, 3])
F = np.array([-3, 0, 2])
从这些方程中，你首先通过单位向量确定向量方向。
AB = B - C
AC = C - A
BD = D - B
BE = E - B
CF = F - C
UnitBD = BD / np.linalg.norm(BD)
UnitBE = BE / np.linalg.norm(BE)
UnitCF = CF / np.linalg.norm(CF)
RadBD = np.cross(AB, UnitBD)
RadBE = np.cross(AB, UnitBE)
RadCF = np.cross(AC, UnitCF)
这允许你表示作用在系统上的张力 (T) 和反作用力 (R)。
和那些时刻
其中 \(T\) 是相应绳索的张力，\(R\) 是相应方向的反作用力。然后你只有六个方程：
\(\sum F_{x} = 0 = T_{BE}/3+T_{BD}/3-195+R_{x}\)
\(\sum F_{y} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}-\frac{2}{3}T_{BD}-390+R_{y}\)
\(\sum F_{z} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}+\frac{2}{3}T_{BD}+130+R_{z}\)
\(\sum M_{x} = 0 = 780+2T_{BE}-2T_{BD}\)
\(\sum M_{z} = 0 = 1170-T_{BE}-T_{BD}\)
你现在有五个未知数和五个方程，可以求解：
\(\ T_{BD} = 780N\)
\(\ T_{BE} = 390N\)
\(\ R_{x} = -195N\)
\(\ R_{y} = 1170N\)
\(\ R_{z} = 130N\)
总结#
你已经学会了如何使用数组来表示三维空间中的点、力和力矩。数组中的每个条目都可以用来表示分解为方向分量的物理属性。然后可以使用 NumPy 函数轻松操作这些属性。
附加应用#
这个相同的流程可以应用于动力学问题或在任意数量的维度中。本教程中的示例假设了在静态平衡中的三维问题。这些方法可以轻松地用于更多样化的问题。更多或更少的维度需要更大或更小的数组来表示。在经历加速的系统中，速度和加速度同样可以被表示为向量。