torch.linalg.eig¶

torch.linalg.eig(A, *, out=None)¶

计算方阵的特征值分解（如果存在）。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，一个方阵的特征值分解 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ （如果存在）定义为

A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}

当且仅当 $A$ 是可对角化的时，这种分解存在。当其所有特征值都不同时，就是这种情况。

支持输入 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。还支持矩阵的批处理，如果 A 是矩阵的批处理，则输出具有相同的批处理维度。

注意

实矩阵的特征值和特征向量可能是复数。

注意

当输入位于CUDA设备上时，此函数会同步该设备与CPU。

警告

此函数假设 A 是可对角化的（例如，当所有特征值都不同时）。如果它不可对角化，返回的特征值将是正确的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$ 。

警告

返回的特征向量被归一化，使其范数为1。即便如此，矩阵的特征向量并不唯一，也不相对于 A连续。由于这种非唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种非唯一性是由于将一个特征向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 会产生另一组有效的矩阵特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为此量没有明确定义。在计算此函数的梯度时会检查这一点。因此，当输入位于CUDA设备上时，此函数的梯度计算会同步该设备与CPU。

警告

使用特征向量张量计算的梯度只有在A具有不同特征值时才是有限的。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近于零，梯度将数值不稳定，因为它依赖于特征值 $\lambda_i$ 通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$ 。

另请参阅

torch.linalg.eigvals() 仅计算特征值。与 torch.linalg.eig() 不同，eigvals() 的梯度总是数值稳定的。

torch.linalg.eigh() 用于计算厄米矩阵和对称矩阵的特征值分解的（更快）函数。

torch.linalg.svd() 用于计算另一种适用于任何形状矩阵的光谱分解的函数。

torch.linalg.qr() 用于另一种（速度快得多）适用于任何形状矩阵的分解方法。

Parameters

A (张量) – 形状为 (*, n, n) 的张量，其中 * 表示零个或多个批量维度，由可对角化的矩阵组成。

Keyword Arguments

out (元组, 可选) – 两个张量的输出元组。如果为None则忽略。默认值：None。

Returns

一个命名元组 (特征值, 特征向量)，对应于 $\Lambda$ 和 $V$ 如上所述。

特征值和特征向量总是复数值的，即使 A 是实数。特征向量将由特征向量的列给出。

示例：

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)