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torch.linalg.qr

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)

计算矩阵的QR分解。

设 K\mathbb{K} 为 R\mathbb{R} 或 C\mathbb{C}， 矩阵的 完全QR分解 A∈Km×nA \in \mathbb{K}^{m \times n} 定义为

A=QRQ∈Km×m,R∈Km×nA = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}

其中 QQ 在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的， 并且 RR 是上三角的，且对角线为实数（即使在复数情况下也是如此）。

当 m > n（高矩阵）时，由于 R 是上三角矩阵，其最后 m - n 行均为零。 在这种情况下，我们可以去掉 Q 的最后 m - n 列，以形成 简化QR分解：

A=QRQ∈Km×n,R∈Kn×nA = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}

当n >= m（宽矩阵）时，简化QR分解与完全QR分解一致。

支持输入 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。 还支持矩阵的批处理，如果 A 是矩阵的批处理，则输出具有相同的批处理维度。

参数 mode 在完整和简化的 QR 分解之间进行选择。 如果 A 的形状为 (*, m, n)，表示 k = min(m, n)

  • mode= ‘reduced’（默认）：返回形状分别为(*, m, k)、(*, k, n)的(Q, R)。 它总是可微的。

  • mode= ‘complete’: 返回形状分别为(*, m, m)、(*, m, n)的(Q, R)。 对于m <= n，它是可微分的。

  • mode= ‘r’: 仅计算简化后的 R。返回 (Q, R)，其中 Q 为空，R 的形状为 (*, k, n)。 它不可微分。

与numpy.linalg.qr的区别：

  • mode= ‘raw’ 未实现。

  • 与numpy.linalg.qr不同，此函数始终返回两个张量的元组。 当mode= ‘r’时，Q张量是一个空张量。

警告

矩阵 R 的对角线元素不一定为正。 因此，返回的 QR 分解仅在 R 的对角线符号上具有唯一性。 因此，不同的平台，如 NumPy，或在不同设备上的输入， 可能会产生不同的有效分解。

警告

QR分解仅在矩阵A中的前k = min(m, n)列线性独立时才有定义。如果此条件不满足，不会抛出错误，但生成的QR可能不正确，并且其自动微分可能会失败或产生不正确的结果。

Parameters

  • A (张量) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 表示零个或多个批次维度。

  • 模式 (字符串, 可选) – 可以是 ‘简化’, ‘完整’, ‘r’。 控制返回张量的形状。默认值: ‘简化’。

Keyword Arguments

out (元组, 可选) – 两个张量的输出元组。如果为None则忽略。默认值：None。

Returns

一个命名元组 (Q, R)。

示例：

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)
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