numpy.gradient#
- numpy.gradient(f, *varargs, axis=None, edge_order=1)[源代码]#
返回一个 N 维数组的梯度.
梯度是使用在内部点上的二阶精确中心差分计算的,并且在边界上使用一阶或二阶精确的一侧（前向或后向）差分.因此,返回的梯度与输入数组具有相同的形状.
- 参数:
- farray_like
一个包含标量函数样本的N维数组.
- varargs标量或数组的列表,可选
f 值之间的间距.所有维度的默认单位间距.可以使用以下方式指定间距:
单个标量以指定所有维度的采样距离.
N 个标量来指定每个维度的恒定采样距离.即 dx, dy, dz, …
N 个数组用于指定沿 F 的每个维度的值的坐标.数组的长度必须与相应维度的大小匹配.
任何具有2.和3.意义的标量/数组的组合
如果给出了 axis,varargs 的数量必须等于轴的数量.默认值:1.（见下面的示例）.
- edge_order{1, 2}, 可选
梯度是使用第 N 阶精确差分在边界处计算的.默认值:1.
在 1.9.1 版本加入.
- axisNone 或 int 或 int 的元组,可选
梯度仅沿给定的轴或轴计算.默认（axis = None）是计算输入数组所有轴的梯度.轴可以是负数,在这种情况下,它从最后一个轴计数到第一个轴.
在 1.11.0 版本加入.
- 返回:
- gradientndarray 或 ndarray 的元组
一个 ndarrays 的元组（如果只有一个维度,则为单个 ndarray）,对应于 f 对每个维度的导数.每个导数与 f 具有相同的形状.
备注
假设 \(f\in C^{3}\) （即,:math:f 至少有3个连续导数）并且令 \(h_{*}\) 为一个非均匀步长,我们最小化”一致性误差” \(\eta_{i}\) 在真实梯度及其从相邻网格点的线性组合中的估计之间:
\[\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]\]通过将 \(f(x_{i} + h_{d})\) 和 \(f(x_{i} - h_{s})\) 替换为它们的泰勒级数展开,这转化为求解以下线性系统:
\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.\end{split}\]得到的 \(f_{i}^{(1)}\) 的近似如下:
\[\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)\]值得注意的是,如果 \(h_{s}=h_{d}\) （即,数据均匀分布）,我们找到标准的二阶近似:
\[\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)\]通过类似的过程,可以推导出用于边界的向前/向后近似.
参考文献
[1]Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. (2007) 数值数学 (应用数学文本).纽约:Springer.
[2]Durran D. R. (1999) 《地球物理流体动力学中的波动方程数值方法》.纽约:Springer.
[3]Fornberg B. (1988) 在任意间隔网格上生成有限差分公式的生成,计算数学 51, 第 184 期 : 699-706. PDF.
示例
>>> import numpy as np >>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16]) >>> np.gradient(f) array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ]) >>> np.gradient(f, 2) array([0.5 , 0.75, 1.25, 1.75, 2.25, 2.5 ])
间距也可以用一个表示沿维度 F 值坐标的数组来指定.例如均匀间距:
>>> x = np.arange(f.size) >>> np.gradient(f, x) array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ])
或者一个非均匀的:
>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.]) >>> np.gradient(f, x) array([1. , 3. , 3.5, 6.7, 6.9, 2.5])
对于二维数组,返回将是按轴排序的两个数组.在这个例子中,第一个数组代表行方向的梯度,第二个数组代表列方向的梯度:
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]])) (array([[ 2., 2., -1.], [ 2., 2., -1.]]), array([[1. , 2.5, 4. ], [1. , 1. , 1. ]]))
在这个例子中,间距也被指定:轴=0 的间距是均匀的,轴=1 的间距是非均匀的.
>>> dx = 2. >>> y = [1., 1.5, 3.5] >>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]]), dx, y) (array([[ 1. , 1. , -0.5], [ 1. , 1. , -0.5]]), array([[2. , 2. , 2. ], [2. , 1.7, 0.5]]))
可以使用 edge_order 指定边界如何处理.
>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) >>> f = x**2 >>> np.gradient(f, edge_order=1) array([1., 2., 4., 6., 7.]) >>> np.gradient(f, edge_order=2) array([0., 2., 4., 6., 8.])
axis 关键字可以用来指定计算梯度的一组轴的子集
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]]), axis=0) array([[ 2., 2., -1.], [ 2., 2., -1.]])
varargs 参数定义了输入数组中样本点之间的间距.它可以采用两种形式:
一个数组,指定坐标,这些坐标可能是不均匀分布的:
>>> x = np.array([0., 2., 3., 6., 8.]) >>> y = x ** 2 >>> np.gradient(y, x, edge_order=2) array([ 0., 4., 6., 12., 16.])
一个标量,表示固定的采样距离:
>>> dx = 2 >>> x = np.array([0., 2., 4., 6., 8.]) >>> y = x ** 2 >>> np.gradient(y, dx, edge_order=2) array([ 0., 4., 8., 12., 16.])
可以为每个维度提供不同的间距数据.参数的数量必须与输入数据的维度数量匹配.
>>> dx = 2 >>> dy = 3 >>> x = np.arange(0, 6, dx) >>> y = np.arange(0, 9, dy) >>> xs, ys = np.meshgrid(x, y) >>> zs = xs + 2 * ys >>> np.gradient(zs, dy, dx) # Passing two scalars (array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]), array([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.], [1., 1., 1.]]))
混合标量和数组也是允许的:
>>> np.gradient(zs, y, dx) # Passing one array and one scalar (array([[2., 2., 2.], [2., 2., 2.], [2., 2., 2.]]), array([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.], [1., 1., 1.]]))