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生存分析简介

应用

传统上，生存分析被开发用来衡量个体的寿命。 精算师或健康专业人士会问这样的问题 “这个群体的寿命有多长？”，并使用生存分析来回答。 例如，群体可能是一个国家的人口（对于精算师）， 或一个被疾病困扰的群体（在医疗专业人士的情况下）。 传统上，这是一个有点病态的主题。

但生存分析不仅可以应用于出生和死亡，还可以应用于任何持续时间。医疗专业人员可能对两次分娩之间的时间感兴趣，在这种情况下，出生是指生孩子的过程，而死亡则是指再次怀孕！（显然，我们对出生和死亡的定义比较宽松）另一个例子是用户订阅服务：出生是指用户加入服务，而死亡是指用户离开服务。

审查

当您想要对持续时间进行推断时，可能并非所有的死亡事件都已经发生。例如，医疗专业人员不会等待研究中的每个人50年后去世才开始调查——他或她感兴趣的是在仅仅几年或几个月后做出决策。

在人口中未经历死亡事件的个体被标记为右删失，即由于某些外部情况，我们未能（或无法）观察到他们剩余的生命历程。我们关于这些个体的所有信息都是他们当前的生存时间（这自然少于他们的实际生存时间）。

注意

还有左截尾和区间截尾，这些将在后面进一步展开。

数据分析师常犯的一个错误是选择忽略右删失的个体。我们接下来将看到为什么这是一个错误。

考虑一个情况，其中人口实际上由两个子群体组成，\(A\) 和 \(B\)。群体 \(A\) 的寿命非常短，平均为2个月，而群体 \(B\) 的寿命则长得多，平均为12个月。我们事先并不知道这种区别。在 \(t=10\) 时，我们希望调查整个群体的平均寿命。

在下图中，红线表示已观察到死亡事件的个体的寿命，蓝线表示右删失个体的寿命（未观察到死亡）。如果我们被要求估计我们人口的平均寿命，并且我们天真地决定不包括右删失的个体，显然我们会严重低估真实的平均寿命。

from lifelines.plotting import plot_lifetimes
import numpy as np
from numpy.random import uniform, exponential

N = 25

CURRENT_TIME = 10

actual_lifetimes = np.array([
    exponential(12) if (uniform() < 0.5) else exponential(2) for i in range(N)
])
observed_lifetimes = np.minimum(actual_lifetimes, CURRENT_TIME)
death_observed = actual_lifetimes < CURRENT_TIME

ax = plot_lifetimes(observed_lifetimes, event_observed=death_observed)

ax.set_xlim(0, 25)
ax.vlines(10, 0, 30, lw=2, linestyles='--')
ax.set_xlabel("time")
ax.set_title("Births and deaths of our population, at $t=10$")
print("Observed lifetimes at time %d:\n" % (CURRENT_TIME), observed_lifetimes)

个体的生存时间示例。我们只观察到时间10，但蓝色的个体尚未死亡（即它们被删失）。

Observed lifetimes at time 10:
[10.   1.1   8.   10.  3.43   0.63   6.28   1.03   2.37   6.17  10.
   0.21   2.71   1.25  10.   3.4  0.62   1.94   0.22   7.43   6.16  10.
   9.41  10.  10.]

此外，如果我们简单地取所有寿命的平均值，包括右删失实例的当前寿命，我们仍然会低估真实的平均寿命。下面我们绘制了所有实例的实际寿命（回想一下，在\(t=10\)时我们看不到这些信息）。

ax = plot_lifetimes(actual_lifetimes, event_observed=death_observed)
ax.vlines(10, 0, 30, lw=2, linestyles='--')
ax.set_xlim(0, 25)

揭示个体的实际寿命。

生存分析最初是为了解决这类问题而开发的，即当我们的数据是右删失时进行处理。然而，即使在所有事件都被观察到的情况下，即没有删失，生存分析仍然是理解持续时间和比率的一个非常有用的工具。

观察不一定总是从零开始。在上面的例子中这样做只是为了理解。考虑一个例子，顾客进入商店是一个出生事件：顾客可以在任何时间进入，不一定在时间零。在生存分析中，持续时间是相对的：个体可能在不同的时间开始。 （我们实际上只需要观察的持续时间，而不一定需要开始和结束时间。）

接下来我们介绍生存分析中的三个基本对象，生存函数、风险函数和累积风险函数。

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生存函数

让\(T\)表示从研究群体中抽取的（可能是无限的，但总是非负的）随机寿命。例如，一对夫妇结婚的时间。或者用户进入网页所需的时间（如果他们从未进入，则为无限时间）。群体的生存函数 - \(S(t)\) - 定义为

\[S(t) = Pr(T > t)\]

简单来说，生存函数定义了在时间\(t\)时死亡事件尚未发生的概率，或者说，存活超过时间\(t\)的概率。注意生存函数的以下属性：

1. \(0 \le S(t) \le 1\)

2. \(F_T(t) = 1 - S(t)\), 其中 \(F_T(t)\) 是 \(T\) 的累积分布函数，这意味着

3. \(S(t)\) 是 \(t\) 的非增函数。

这是一个生存函数的示例：

从这张图中可以看出，在时间40时，大约75%的人口仍然存活。

风险函数

我们还对在时间\(t\)发生死亡事件的概率感兴趣，前提是死亡事件尚未发生。数学上，这表示为：

\[\lim_{\delta t \rightarrow 0 } \; Pr( t \le T \le t + \delta t | T > t)\]

随着\(\delta t\)的缩小，这个量趋近于0，因此我们将其除以间隔\(\delta t\)（就像我们在微积分中可能做的那样）。这定义了时间\(t\)处的风险函数\(h(t)\)：

\[h(t) = \lim_{\delta t \rightarrow 0 } \; \frac{Pr( t \le T \le t + \delta t | T > t)}{\delta t}\]

可以证明这等于：

\[h(t) = \frac{-S'(t)}{S(t)}\]

并解这个微分方程（很酷，它是一个微分方程！），我们得到：

\[S(t) = \exp\left( -\int_0^t h(z) \mathrm{d}z \right)\]

积分有一个更常见的名称：累积风险函数，表示为\(H(t)\)。我们可以将上述内容重写为：

\[S(t) = \exp\left(-H(t) \right)\]

因此，下图分别表示上图中生存函数的危险和累积危险。

我喜欢上述关系的原因是它定义了所有生存函数。注意，我们现在可以谈论生存函数\(S(t)\)、风险函数\(h(t)\)或累积风险函数\(H(t)\)，并且我们可以很容易地在它们之间进行转换。下面是这些量之间所有关系的图形表示。

生存分析中使用的数学实体及其之间的转换图。 别担心：lifelines 会为你完成这一切。

下一步

当然，我们无法观察到人口的真实生存函数或风险。我们必须使用观察到的数据来估计它。有许多方法可以估计生存函数和风险函数，这使我们进入了使用lifelines进行估计。