ot.sliced

切片的OT距离

函数

ot.sliced.get_random_projections(d, n_projections, seed=None, backend=None, type_as=None)

从维度为 \(d-1\) 的单位球面上生成 n_projections 个样本： \(\mathcal{U}(\mathcal{S}^{d-1})\)

Parameters:

• d (int) – 空间的维度

• n_projections (int) – 请求的样本数量

• seed (int 或 RandomState, 可选) – 用于numpy随机数生成器的种子

• 后端 – 用于随机生成的后端

Returns:

out – 球体上的单位均匀向量

Return type:

ndarray，形状 (d, n_projections)

示例

>>> n_projections = 100
>>> d = 5
>>> projs = get_random_projections(d, n_projections)
>>> np.allclose(np.sum(np.square(projs), 0), 1.)  
True

ot.sliced.max_sliced_wasserstein_distance(X_s, X_t, a=None, b=None, n_projections=50, p=2, projections=None, seed=None, log=False)

计算最大p切片Wasserstein距离的蒙特卡洛近似

\[\mathcal{Max-SWD}_p(\mu, \nu) = \underset{\theta _in \mathcal{U}(\mathbb{S}^{d-1})}{\max} [\mathcal{W}_p^p(\theta_\# \mu, \theta_\# \nu)]^{\frac{1}{p}}\]

其中 :

• \(\theta_\# \mu\) 代表投影的推送 \(\mathbb{R}^d \ni X \mapsto \langle \theta, X \rangle\)

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• X_t (ndarray, shape (n_samples_b, dim)) – 目标域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• b (ndarray, shape (n_samples_b,), optional) – 目标域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• p (float, optional =) – 用于计算切片Wasserstein的幂p

• 投影 (形状 (维度, 投影数), 可选) – 投影矩阵（在这种情况下不使用投影数和种子）

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_distance 会返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 切片的Wasserstein成本

• log (dict, optional) – 仅在参数log==True时返回日志字典

示例

>>> n_samples_a = 20
>>> X = np.random.normal(0., 1., (n_samples_a, 5))
>>> sliced_wasserstein_distance(X, X, seed=0)  
0.0

参考文献

[35]

Deshpande, I., Hu, Y. T., Sun, R., Pyrros, A., Siddiqui, N., Koyejo, S., … & Schwing, A. G. (2019). 最大切片沃瑟斯坦距离及其在GAN中的应用。发表于IEEE/CVF计算机视觉与模式识别会议论文集（第10648-10656页）。

ot.sliced.sliced_wasserstein_distance(X_s, X_t, a=None, b=None, n_projections=50, p=2, projections=None, seed=None, log=False)

计算p切片Wasserstein距离的蒙特卡罗近似值

\[\mathcal{SWD}_p(\mu, \nu) = \underset{\theta \sim \mathcal{U}(\mathbb{S}^{d-1})}{\mathbb{E}}\left(\mathcal{W}_p^p(\theta_\# \mu, \theta_\# \nu)\right)^{\frac{1}{p}}\]

其中 :

• \(\theta_\# \mu\) 表示投影 \(X \in \mathbb{R}^d \mapsto \langle \theta, X \rangle\) 的推前。

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• X_t (ndarray, shape (n_samples_b, dim)) – 目标域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• b (ndarray, shape (n_samples_b,), optional) – 目标域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• p (float, optional =) – 用于计算切片Wasserstein的幂p

• 投影 (形状 (维度, 投影数), 可选) – 投影矩阵（在这种情况下不使用投影数和种子）

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_distance 会返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 切片的Wasserstein成本

• log (dict, optional) – 仅在参数log==True时返回日志字典

示例

>>> n_samples_a = 20
>>> X = np.random.normal(0., 1., (n_samples_a, 5))
>>> sliced_wasserstein_distance(X, X, seed=0)  
0.0

参考文献

[31]

Bonneel, Nicolas, 等. “切片和拉东华斯坦质心。” 数学成像与视觉杂志 51.1 (2015): 22-45

ot.sliced.sliced_wasserstein_sphere(X_s, X_t, a=None, b=None, n_projections=50, p=2, projections=None, seed=None, log=False)

计算球面切片-Wasserstein 差异。

\[SSW_p(\mu,\nu) = \left(\int_{\mathbb{V}_{d,2}} W_p^p(P^U_\#\mu, P^U_\#\nu)\ \mathrm{d}\sigma(U)\right)^{\frac{1}{p}}\]

其中：

• \(P^U_\# \mu\) 表示投影的推前 \(\forall x\in S^{d-1},\ P^U(x) = \frac{U^Tx}{\|U^Tx\|_2}\)

该函数在后台运行，但不支持tensorflow和jax。

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• X_t (ndarray, shape (n_samples_b, dim)) – 目标领域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• b (ndarray, shape (n_samples_b,), optional) – 目标域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• p (float, 可选的 (默认=2)) – 用于计算球面切片Wasserstein的功率p

• 投影 (形状 (投影数量, 维度, 2), 可选) – 投影矩阵（在这种情况下，不使用投影数量和种子）

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_sphere 将返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 球面切片瓦瑟斯坦成本

• log (dict, optional) – 仅当parameters中的log==True时返回日志字典

示例

>>> n_samples_a = 20
>>> X = np.random.normal(0., 1., (n_samples_a, 5))
>>> X = X / np.sqrt(np.sum(X**2, -1, keepdims=True))
>>> sliced_wasserstein_sphere(X, X, seed=0)  
0.0

参考文献

[46]

Bonet, C., Berg, P., Courty, N., Septier, F., Drumetz, L., & Pham, M. T. (2023). 球面切片-沃瑟斯坦。国际学习表征会议。

ot.sliced.sliced_wasserstein_sphere_unif(X_s, a=None, n_projections=50, seed=None, log=False)

计算相对于均匀分布的2-球面切片瓦瑟斯坦距离。

\[SSW_2(\mu_n, \nu)\]

在哪里

• \(\mu_n=\sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{x_i}\)

• \(\nu=\mathrm{Unif}(S^1)\)

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_distance 会返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 球面切片瓦瑟斯坦成本

• log (dict, optional) – 仅当parameters中的log==True时返回日志字典

示例

>>> np.random.seed(42)
>>> x0 = np.random.randn(500,3)
>>> x0 = x0 / np.sqrt(np.sum(x0**2, -1, keepdims=True))
>>> ssw = sliced_wasserstein_sphere_unif(x0, seed=42)
>>> np.allclose(sliced_wasserstein_sphere_unif(x0, seed=42), 0.01734, atol=1e-3)
True

参考文献:

[46]

Bonet, C., Berg, P., Courty, N., Septier, F., Drumetz, L., & Pham, M. T. (2023). 球面切片-沃瑟斯坦。国际学习表征会议。

ot.sliced.get_random_projections(d, n_projections, seed=None, backend=None, type_as=None)

从维度为 \(d-1\) 的单位球面上生成 n_projections 个样本： \(\mathcal{U}(\mathcal{S}^{d-1})\)

Parameters:

• d (int) – 空间的维度

• n_projections (int) – 请求的样本数量

• seed (int 或 RandomState, 可选) – 用于numpy随机数生成器的种子

• 后端 – 用于随机生成的后端

Returns:

out – 球体上的单位均匀向量

Return type:

ndarray，形状 (d, n_projections)

示例

>>> n_projections = 100
>>> d = 5
>>> projs = get_random_projections(d, n_projections)
>>> np.allclose(np.sum(np.square(projs), 0), 1.)  
True

ot.sliced.max_sliced_wasserstein_distance(X_s, X_t, a=None, b=None, n_projections=50, p=2, projections=None, seed=None, log=False)

计算最大p切片Wasserstein距离的蒙特卡洛近似

\[\mathcal{Max-SWD}_p(\mu, \nu) = \underset{\theta _in \mathcal{U}(\mathbb{S}^{d-1})}{\max} [\mathcal{W}_p^p(\theta_\# \mu, \theta_\# \nu)]^{\frac{1}{p}}\]

其中 :

• \(\theta_\# \mu\) 代表投影的推送 \(\mathbb{R}^d \ni X \mapsto \langle \theta, X \rangle\)

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• X_t (ndarray, shape (n_samples_b, dim)) – 目标域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• b (ndarray, shape (n_samples_b,), optional) – 目标域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• p (float, optional =) – 用于计算切片Wasserstein的幂p

• 投影 (形状 (维度, 投影数), 可选) – 投影矩阵（在这种情况下不使用投影数和种子）

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_distance 会返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 切片的Wasserstein成本

• log (dict, optional) – 仅在参数log==True时返回日志字典

示例

>>> n_samples_a = 20
>>> X = np.random.normal(0., 1., (n_samples_a, 5))
>>> sliced_wasserstein_distance(X, X, seed=0)  
0.0

参考文献

[35]

Deshpande, I., Hu, Y. T., Sun, R., Pyrros, A., Siddiqui, N., Koyejo, S., … & Schwing, A. G. (2019). 最大切片沃瑟斯坦距离及其在GAN中的应用。发表于IEEE/CVF计算机视觉与模式识别会议论文集（第10648-10656页）。

ot.sliced.sliced_wasserstein_distance(X_s, X_t, a=None, b=None, n_projections=50, p=2, projections=None, seed=None, log=False)

计算p切片Wasserstein距离的蒙特卡罗近似值

\[\mathcal{SWD}_p(\mu, \nu) = \underset{\theta \sim \mathcal{U}(\mathbb{S}^{d-1})}{\mathbb{E}}\left(\mathcal{W}_p^p(\theta_\# \mu, \theta_\# \nu)\right)^{\frac{1}{p}}\]

其中 :

• \(\theta_\# \mu\) 表示投影 \(X \in \mathbb{R}^d \mapsto \langle \theta, X \rangle\) 的推前。

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• X_t (ndarray, shape (n_samples_b, dim)) – 目标域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• b (ndarray, shape (n_samples_b,), optional) – 目标域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• p (float, optional =) – 用于计算切片Wasserstein的幂p

• 投影 (形状 (维度, 投影数), 可选) – 投影矩阵（在这种情况下不使用投影数和种子）

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_distance 会返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 切片的Wasserstein成本

• log (dict, optional) – 仅在参数log==True时返回日志字典

示例

>>> n_samples_a = 20
>>> X = np.random.normal(0., 1., (n_samples_a, 5))
>>> sliced_wasserstein_distance(X, X, seed=0)  
0.0

参考文献

[31]

Bonneel, Nicolas, 等. “切片和拉东华斯坦质心。” 数学成像与视觉杂志 51.1 (2015): 22-45

ot.sliced.sliced_wasserstein_sphere(X_s, X_t, a=None, b=None, n_projections=50, p=2, projections=None, seed=None, log=False)

计算球面切片-Wasserstein 差异。

\[SSW_p(\mu,\nu) = \left(\int_{\mathbb{V}_{d,2}} W_p^p(P^U_\#\mu, P^U_\#\nu)\ \mathrm{d}\sigma(U)\right)^{\frac{1}{p}}\]

其中：

• \(P^U_\# \mu\) 表示投影的推前 \(\forall x\in S^{d-1},\ P^U(x) = \frac{U^Tx}{\|U^Tx\|_2}\)

该函数在后台运行，但不支持tensorflow和jax。

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• X_t (ndarray, shape (n_samples_b, dim)) – 目标领域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• b (ndarray, shape (n_samples_b,), optional) – 目标域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• p (float, 可选的 (默认=2)) – 用于计算球面切片Wasserstein的功率p

• 投影 (形状 (投影数量, 维度, 2), 可选) – 投影矩阵（在这种情况下，不使用投影数量和种子）

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_sphere 将返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 球面切片瓦瑟斯坦成本

• log (dict, optional) – 仅当parameters中的log==True时返回日志字典

示例

>>> n_samples_a = 20
>>> X = np.random.normal(0., 1., (n_samples_a, 5))
>>> X = X / np.sqrt(np.sum(X**2, -1, keepdims=True))
>>> sliced_wasserstein_sphere(X, X, seed=0)  
0.0

参考文献

[46]

Bonet, C., Berg, P., Courty, N., Septier, F., Drumetz, L., & Pham, M. T. (2023). 球面切片-沃瑟斯坦。国际学习表征会议。

ot.sliced.sliced_wasserstein_sphere_unif(X_s, a=None, n_projections=50, seed=None, log=False)

计算相对于均匀分布的2-球面切片瓦瑟斯坦距离。

\[SSW_2(\mu_n, \nu)\]

在哪里

• \(\mu_n=\sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{x_i}\)

• \(\nu=\mathrm{Unif}(S^1)\)

Parameters:

• X_s (ndarray, shape (n_samples_a, dim)) – 源领域中的样本

• a (ndarray, shape (n_samples_a,), optional) – 源域中的样本权重

• n_projections (int, 可选) – 用于蒙特卡洛近似的投影数量

• seed (int 或 RandomState 或 None, 可选) – 用于随机数生成器的种子

• log (bool, 可选) – 如果为 True，sliced_wasserstein_distance 会返回使用的投影及其相关的 EMD。

Returns:

• cost (float) – 球面切片瓦瑟斯坦成本

• log (dict, optional) – 仅当parameters中的log==True时返回日志字典

示例

>>> np.random.seed(42)
>>> x0 = np.random.randn(500,3)
>>> x0 = x0 / np.sqrt(np.sum(x0**2, -1, keepdims=True))
>>> ssw = sliced_wasserstein_sphere_unif(x0, seed=42)
>>> np.allclose(sliced_wasserstein_sphere_unif(x0, seed=42), 0.01734, atol=1e-3)
True

参考文献:

[46]

Bonet, C., Berg, P., Courty, N., Septier, F., Drumetz, L., & Pham, M. T. (2023). 球面切片-沃瑟斯坦。国际学习表征会议。